Răspuns:
n trebuie să fie de forma 4n+1 sau 4n+3
Explicație pas cu pas:
Exercițiul se rezolvă analizând ultima cifră a numărului 7ⁿ + 8ⁿ
Pentru a fi divizibil cu 5, ultima cifră a sumei 7ⁿ + 8ⁿ trebuie să fie 0 sau 5
Analizăm pe 7:
uc 7¹ = 7
uc 7² = 9
uc 7³ = 3
uc 7⁴ = 1
uc 7⁵ = 7, iar de aici se repetă din 4 în 4
Observăm că regula este următoarea:
uc 7⁴ⁿ⁺¹ = 7
uc 7⁴ⁿ⁺² = 9
uc 7⁴ⁿ⁺³ = 3
uc 7⁴ⁿ = 1
Acum analizăm pe 8:
uc 8¹ = 8
uc 8² = 4
uc 8³ = 2
uc 8⁴ = 6
uc 8⁵ = 8, iar de aici se repetă din 4 în 4
Observăm că regula este următoarea:
uc 8⁴ⁿ⁺¹ = 8
uc 8⁴ⁿ⁺² = 4
uc 8⁴ⁿ⁺³ = 2
uc 8⁴ⁿ = 6
Ultima cifră a sumei 7ⁿ + 8ⁿ poate fi una din următoarele 4 variante:
a) când n are forma 4n+1,
uc 7ⁿ⁺¹ + 8ⁿ⁺¹ = uc 7+8 = 5, deci 4n+1 e soluție;
b) când n are forma 4n+2,
avem uc 7⁴ⁿ⁺² + 8⁴ⁿ⁺² = 9+4 = 3, deci 4n+2 nu e soluție;
c) când n are forma 4n+3,
avem uc 7⁴ⁿ⁺³ + 8⁴ⁿ⁺³ = 3+2 = 5, deci 4n+3 e soluție;
d) când n are forma 4n,
avem uc 7⁴ⁿ + 8⁴ⁿ = 1+6 = 7, deci 4n nu e soluție;
