18 | 15x+7y ⇒ 18·k = 15x + 7y
2 | 18k ⇒ 2 | (15x+7y)
Astfel, 15x si 7y trebuie sa aiba aceeasi paritate (daca 15x este par si 7y este par deoarece doar suma a foua numere pare poate sa dea un numar par; daca 15x este impar si 7y este impar deoarece doar suma a doua numere impare poate sa dea un numar par)
Cazul 1:
15x si 7y sunt pare
cum (15, 2)=1 si (7, 2)=1 (15 si 2 sunt prime intre ele; 7 si 2 sunt prime intre ele ⇒ 15 si 7 sunt impare) ⇒ x si y | 2 (x si y sunt pare)
scriem x ca x=2q
scriem y ca y=2p
9x+9y = 9·2q+9·2p=18q+18p=18(q+p) divizibil cu 18
deci 18 | 9x+9y
Cazul 2:
15x si 7y sunt impare ⇒ x si y sunt impare
putem scrie x ca x=2q+1
putem scrie y ca y=2p+1
9x+9y=9(2q+1)+9(2p+1)=9·2q+9+9·2p+9=18q+18p+18=18(q+p+1) divizibil cu 18
deci 18 | 9x+9y
Am obtinut in ambele cazuri ca 18 | 9x+9y, deci in general daca 18 | 15x+7y ⇒ 18 | 9x+9y
