👤
CRUCERUVLADZE
a fost răspuns

Fie ABCD un patrulater cu diagonalele perpendiculare , iar M,N,P,Q mijloacele laturilor AB,BC,CD,respectiv DA.Demonstrati ca MNPQ este dreptunghi.

Răspuns :

MRBUNNYZE

Răspuns:

Este! Vezi mai jos și desenul!

Explicație pas cu pas:

   M, N, P, Q sunt mijloacele laturilor [AB], [BC], [CD], [DA]... Deci acestea vor fi linii mijlocii.

   Desenăm diagonalele AC și BD ale patrulaterului ABCD. Observăm că: MN e linie mijlocie în ΔABC; PN e linie mijlocie în ΔBCD, PQ e linie mijlocie în ΔADC și MQ este linie mijlocie în ΔABD.

   De aici MN şi PQ || AC ⇒ MN || PQ ; PN și MQ || BD ⇒ PN || MQ.  Deci MNPQ - paralelogram. Apoi vom arăta că unghiurile sunt de 90°, automat va fi dreptunghi :D

REZOLVARE:

M - mijl. AB, N - mijl. BC ⇒ MN - l.m. în ΔABC ⇒ MN || AC

P - mijl. CD, Q - mijl. AD ⇒ PQ - l.m. în ΔADC ⇒ PQ || AC

Din cele două relaţii rezultă MN || PQ. (a)

M - mijl. AB, Q - mijl. AD ⇒ MQ - l.m. în ΔABD ⇒ MQ || BD

P - mijl. CD, N - mijl. BC ⇒ PN - l.m. în ΔBCD ⇒ PN || BD

Din cele două relaţii rezultă MQ || PN. (b)

Din (a) şi (b) ⇒ MNPQ - paralelogram.

Cum AC ⊥ BD ⇒ MN ⊥ PN, MN ⊥ MQ

Și PQ ⊥ PN, PQ ⊥ QM ⇒

⇒ MNPQ - paralelogram cu ∡ de 90° ⇒

⇒ MNPQ - dreptunghi

Sper că a ajutat răspunsul :)

Vezi imaginea MRBUNNY
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Ne bucurăm să vă revedem și vă invităm să ne adăugați în lista de favorite!


Ze Schools: Alte intrebari