Condițiile de existență în R a unui logaritm sunt:
- baza trebuie să fie un număr pozitiv și diferit de 1
- argumentul trebuie să fie un număr pozitiv
Exemplu
Fie logaritmul cu baza a și argumentul b.
Pentru ca acest logaritm să existe în mulțimea numerelor reale:
Rezolvare
Punctul a)
3 > 0, 3 ≠ 1 deci pentru ca logaritmul să existe în R:
x + 4 > 0
x > -4
x ∈ (-4, ∞)
Punctul b)
[tex]\dfrac{1}{2}[/tex] > 0, [tex]\dfrac{1}{2}[/tex] ≠ 1 deci pentru ca logaritmul să existe în R:
2 - x > 0
-x > -2
x < 2
x ∈ (-∞, 2)
Punctul c)
4 > 0, 4 ≠ 1 deci pentru ca logaritmul să existe în R:
x² - 4 > 0
x² > 4
x ∈ (-∞, -2) ∪ (2, ∞)
Punctul d)
[tex]\dfrac{2}{3}[/tex] > 0, [tex]\dfrac{2}{3}[/tex] ≠ 1 deci pentru ca logaritmul să existe în R:
9 - x² > 0
-x² > -9
x² < 9
x ∈ (-3, 3)
Punctul e)
10 > 0, 10 ≠ 1 deci pentru ca logaritmul să existe în R:
-x² + x + 2 > 0
- Observăm că avem o funcție de gradul 2.
a = -1, b = 1, c = 2
Δ = b² - 4ac = 1 - 4 × 2 × (-1)
Δ = 1 + 8 = 9
[tex]\displaystyle{x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\triangle}}{2a} = \frac{-1 + 3}{-2}=-1 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\triangle}}{2a}=\frac{-1-3}{-2}=2 }[/tex]
- Se face tabelul de semn (vezi în imaginea atașată).
- Observăm că funcția este pozitivă între valoarea minimă -1 și valoarea maximă 2.
Deci x ∈ (-1, 2)
Punctul f)
e > 0, e ≠ 1 deci pentru ca logaritmul să existe în R:
x² + 25 > 0
x² > -25
x ∈ R (deoarece orice număr ridicat la pătrat este pozitiv)
Punctul g)
e > 0, e ≠ 1 deci pentru ca logaritmul să existe în R:
-x > 0
x < 0
x ∈ (-∞, 0)
Punctul h)
3 > 0 deci pentru ca logaritmul să existe în R:
x + 1 > 0
x > -1 ⇒ x ∈ (-1, ∞) (relația 1)
x + 1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 0 (relația 2)
Din relația 1 și relația 2 ⇒ x ∈ (-1, ∞) \ {0}
Și restul subpunctelor tot așa se rezolvă.
Ideea ai înțeles-o, mai trebuie doar să faci calcule.
Mult succes!
