Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Algoritmul de rezolvare a ecuațiilor (inecuațiilor) ce conțin module:
1. Aflăm zerourile modulelor
2. Zerourile împart axa numerică în câteva intervale numerice
3. Explicităm modulele pe fiecare interval și rezolvăm ecuația pe fiecare interval.
Rezolvare: |1-x|-|2-x|=|3-x| (1)
1. 1-x=0, ⇒x=1; 2-x=0, ⇒x=2; 3-x=0, ⇒x=3. Deci 1, 2, 3 sunt zerourile.
2. Axa numerică se împarte în intervalele: (-∞; 1); [1; 2); [2; 3); [3; +∞).
3.
cazul 1. x∈ (-∞; 1). Atunci, |1-x|=1-x; |2-x|=2-x; |3-x|=3-x. Înlocuim în (1), ⇒
1-x-(2-x)=3-x, ⇒1-x-2+x=3-x, ⇒-1=3-x, ⇒x=3+1, ⇒x=4∉(-∞; 1), deci nu e soluție a ecuației (1).
cazul 2. x∈ [1; 2); Atunci, |1-x|=-(1-x)=-1+x; |2-x|=2-x; |3-x|=3-x. Înlocuim în (1), ⇒-1+x-(2-x)=3-x, ⇒-1+x-2+x=3-x, ⇒2x-3=3-x, ⇒2x+x=3+3, ⇒3x=6, ⇒ x=6:3, ⇒ x=2∉[1; 2), deci nu e soluție.
cazul 3. x∈ [2; 3); Atunci, |1-x|=-(1-x)=-1+x; |2-x|=-(2-x)=-2+x; |3-x|=3-x. Înlocuim în (1), ⇒ -1+x-(-2+x)=3-x, ⇒-1+x+2-x=3-x, ⇒1=3-x, ⇒x=2∈ [2; 3), deci x=2 este soluție a ecuației (1).
cazul 4. x∈ [3; +∞); Atunci, |1-x|=-(1-x)=-1+x; |2-x|=-(2-x)=-2+x; |3-x|=-(3-x)=-3+x. Înlocuim în (1), ⇒ -1+x-(-2+x)=-3+x, ⇒-1+x+2-x=-3+x, ⇒1=-3+x, ⇒x=4∈ [3; +∞), deci x=4 este soluție a ecuației (1).
Răspuns: S={2, 4}.
