Răspuns :
METODA 1
a, b, c - cifre
a, b, c ∈ { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
a ≠ 0
(a + b + c)·34 = abc (in baza zece)
descompunem in baza zece
34a + 34b + 34c = 100a + 10b + c / -34a
34b + 34c = 66a + 10b + c / -10b-c
24b + 33c = 66a /:3
8b + 11c = 22a
↓ ↓ ↓
par + ? = par
8b - este par
22a - este par ⇒ 11c este PAR;
dar (11,8) - nr prime intre ele⇒ c este PAR ⇒ c ∈ {0,2,4,6,8}
Vom avea de analizat 5 cazuri in functie de ce valoare poate avea c
- c = 0 ⇒ 8b = 22a/ :2 ⇒ 4b = 11a
daca a = 4 ⇒ 4b = 11·4 ⇒ b = 11 (NU CONVINE)
daca a = 8 ⇒ 4b = 88 ⇒ b = 22 (NU CONVINE)
- c = 2 ⇒ 8b + 22 = 22a/:2 ⇒ 4b + 11 = 11a
Aici ar trebui sa analizezi fiecare valoare posibila a lui a∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}, dar vei vedea ca a poate avea doar o valoare
daca a = 1 ⇒ 4b + 11 = 11 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 abc = 102 (solutie)
daca a = 2 ⇒ 4b + 11 = 22 ⇒ 4b = 11 ⇒ (NU CONVINE)
- c = 4 ⇒ 8b + 44 = 22a/:2 ⇒ 4b + 22 = 11a
daca a = 1 ⇒ 4b + 22 = 11 ⇒ 4b = -11 (NU CONVINE)
daca a = 2 ⇒ 4b + 22 = 22 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 abc = 204 (solutie)
daca a = 3 ⇒ 4b + 22 = 33 ⇒ 4b = 11 ⇒ (NU CONVINE)
- c = 6 ⇒ 8b + 66 = 22a/:2 ⇒ 4b + 33 = 11a
daca a = 1 ⇒ 4b + 33 = 11 ⇒ 4b = -22 (NU CONVINE)
daca a = 2 ⇒ 4b + 33 = 22 ⇒ 4b = -11 ⇒ (NU CONVINE)
daca a = 3 ⇒ 4b + 33 = 33 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 abc = 306 (solutie)
daca a = 4 ⇒ 4b + 33 = 44 ⇒ 4b = 11 ⇒ (NU CONVINE)
- c = 8 ⇒ 8b + 88 = 22a/:2 ⇒ 4b + 44 = 11a
daca a = 1 ⇒ 4b + 44 = 11 ⇒ 4b = -33 (NU CONVINE)
daca a = 2 ⇒ 4b + 44 = 22 ⇒ 4b = -22 ⇒ (NU CONVINE)
daca a = 3 ⇒ 4b + 44 = 33 ⇒ 4b = -11 ⇒ (NU CONVINE)
daca a = 4 ⇒ 4b + 44 = 44 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 abc = 408 (solutie)
daca a = 5 ⇒ 4b + 44 = 55 ⇒ 4b = 11 ⇒ (NU CONVINE)
Din cazurile analizate numerele naturale de trei cifre care sunt de 34 de ori mai mari decât suma cifrelor lor sunt: 102; 204; 306; 408
Raspuns: abc ∈ {102; 204; 306; 408}
METODA 2
a, b, c - cifre
a, b, c ∈ { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
a ≠ 0
abc = 34·(a + b + c)
descompunem in baza 10 si vom avea
100a + 10b + c = 34a + 34b + 34c
66a - 33c = 24b
33·(2a - c) = 24b /:3 (impartim toata relatia cu 3)
11(2a - c) = 8b
(11 ; 8) = 1 (sunt prime intre ele, adica nu au nimic in comun)
b este cifră si nu poate avea valoare mai mare de 9 ⇒ b = 0 ⇒
2a - c = 0 ⇒ c = 2a ⇒ c ∈ {2,4,6,8} ⇒ a ∈ {1,2,3,4} ⇒
abc ∈ {102; 204; 306; 408}
Raspuns: abc ∈ {102; 204; 306; 408}
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Ne bucurăm să vă revedem și vă invităm să ne adăugați în lista de favorite!