👤
VASILE358ZE
a fost răspuns

Determinati numerele naturale de trei cifre care sunt de 34 de ori mai mari decât suma cifrelor lor.

Răspuns :

                METODA 1

a, b, c - cifre

a, b, c ∈ { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

a ≠ 0

(a + b + c)·34 = abc (in baza zece)

descompunem in baza zece

34a + 34b + 34c = 100a + 10b + c     / -34a

34b + 34c = 66a + 10b + c     / -10b-c

24b + 33c = 66a     /:3

8b + 11c = 22a

↓       ↓         ↓

par + ?    =  par  

8b - este par

22a - este par  ⇒ 11c este PAR;

dar (11,8) - nr prime intre ele⇒ c este PAR ⇒ c ∈ {0,2,4,6,8}

Vom avea de analizat 5 cazuri in functie de ce valoare poate avea c

  • c = 0 ⇒ 8b = 22a/ :2 ⇒ 4b = 11a

daca a = 4 ⇒ 4b = 11·4 ⇒ b = 11 (NU CONVINE)

daca a = 8 ⇒ 4b = 88 ⇒ b = 22 (NU CONVINE)

  • c = 2 ⇒ 8b + 22 = 22a/:2 ⇒ 4b + 11 = 11a

Aici ar trebui sa analizezi fiecare valoare posibila a lui a∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}, dar vei vedea ca a poate avea doar o valoare

daca a = 1 ⇒ 4b + 11 = 11 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0   abc = 102 (solutie)

daca a = 2 ⇒ 4b + 11 = 22 ⇒ 4b = 11 ⇒ (NU CONVINE)

  • c = 4 ⇒ 8b + 44 = 22a/:2 ⇒ 4b + 22 = 11a

daca a = 1 ⇒ 4b + 22 = 11 ⇒ 4b = -11 (NU CONVINE)

daca a = 2 ⇒ 4b + 22 = 22 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0   abc = 204 (solutie)

daca a = 3 ⇒ 4b + 22 = 33 ⇒ 4b = 11 ⇒ (NU CONVINE)

  • c = 6 ⇒ 8b + 66 = 22a/:2 ⇒ 4b + 33 = 11a

daca a = 1 ⇒ 4b + 33 = 11 ⇒ 4b = -22 (NU CONVINE)

daca a = 2 ⇒ 4b + 33 = 22 ⇒ 4b = -11 ⇒ (NU CONVINE)

daca a = 3 ⇒ 4b + 33 = 33 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0   abc = 306 (solutie)

daca a = 4 ⇒ 4b + 33 = 44 ⇒ 4b = 11 ⇒ (NU CONVINE)

  • c = 8 ⇒ 8b + 88 = 22a/:2 ⇒ 4b + 44 = 11a

daca a = 1 ⇒ 4b + 44 = 11 ⇒ 4b = -33 (NU CONVINE)

daca a = 2 ⇒ 4b + 44 = 22 ⇒ 4b = -22 ⇒ (NU CONVINE)

daca a = 3 ⇒ 4b + 44 = 33 ⇒ 4b = -11 ⇒ (NU CONVINE)

daca a = 4 ⇒ 4b + 44 = 44 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0   abc = 408 (solutie)

daca a = 5 ⇒ 4b + 44 = 55 ⇒ 4b = 11 ⇒ (NU CONVINE)

Din cazurile analizate numerele naturale de trei cifre care sunt de 34 de ori mai mari decât suma cifrelor lor sunt: 102; 204; 306; 408

Raspuns:  abc ∈ {102; 204; 306; 408}

         METODA 2

a, b, c - cifre

a, b, c ∈ { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

a ≠ 0

abc = 34·(a + b + c)

descompunem in baza 10 si vom avea

100a + 10b + c = 34a + 34b + 34c

66a - 33c = 24b  

33·(2a - c) = 24b      /:3  (impartim toata relatia cu 3)

11(2a - c) = 8b

(11 ; 8) = 1 (sunt prime intre ele, adica nu au nimic in comun)

b este cifră si nu poate avea valoare mai mare de 9 ⇒ b = 0  ⇒

2a - c = 0  ⇒ c = 2a  ⇒ c ∈ {2,4,6,8} ⇒ a ∈ {1,2,3,4}  ⇒

abc ∈ {102; 204; 306; 408}

Raspuns:  abc ∈ {102; 204; 306; 408}

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Ne bucurăm să vă revedem și vă invităm să ne adăugați în lista de favorite!


Ze Schools: Alte intrebari