Răspuns:
[tex]P=4\sqrt{3}+12\text{ cm}\\A=8\sqrt{3}\text{ cm}^2[/tex]
Explicație pas cu pas:
Folosim cosinus în unghiul [tex]ABC[/tex] ca să aflăm latura [tex]AB[/tex] (ipotenuza [tex]\triangle ABD[/tex]):
[tex]\substack{\cos{\sphericalangle ABD}=\frac{BD}{AB}\\m{\sphericalangle ABD}=30\°} \right \} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{AB} \Rightarrow \sqrt{3}\cdot AB = 6\cdot 2\Rightarrow \\\Rightarrow AB=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\\[/tex]
Folosim tangenta în același unghi pentru a afla [tex]AC[/tex]:
[tex]\substack{\tan{\sphericalangle ABC}=\frac{AC}{AB}\\m\sphericalangle ABC=30\°} \} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{AC}{4\sqrt{3}} \Rightarrow AC\sqrt{3}=4\sqrt{3}\\\Rightarrow AC=4\text{ cm}[/tex]
Folosim teorema lui Pitagora pentru a afla [tex]BC[/tex]:
[tex]\text{Ipotenuza}^={\text{Cateta}_1}^2+{\text{Cateta}_2}^2\\\Rightarrow BC^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow\\\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+4^2}=\sqrt{16\cdot3+16}=\sqrt{16\cdot4}=4\cdot2=\\=8\text{ cm}[/tex]
În sfârșit, putem afla perimetrul și aria triunghiului:
[tex]P=AB+AC+BC\\=4\sqrt{3}+4+8=4\sqrt{3}+12\text{ cm}[/tex]
[tex]A=\frac{\text{Cateta}_1\cdot\text{Cateta}_2}{2}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\sqrt{3}\cdot4}{2}=8\sqrt{3}\text{ cm}^2[/tex]
Funcțiile trigonometrice (sin, cos, tan, ctg) și t. lui Pitagora, t. înălțimii, t. catetei pot fi aplicate doar în triunghiuri dreptunghice!
