Răspuns:
a) asa este
b) si asta e adevarat, desi mi-a fost greu sa demonstrz si chaira m grit la cal;cul; cand calculam bibne nu imi venebn nea sa cred ca e asa lung!! ::)) ::(((
Explicație pas cu pas:
fie x=3k+2, y=3p+2
x°y=(3k+2) comp(3p+2)=3(3k+2)(3p+2)+4(3k+2+3p+2)+4=
=27kp+18k+18p+12+12k+12p+20
=27kp+18k+18p+12+12k+12p+18+2= 3s+2 pt ca toti termenii sumei, mai putrin ultimul sunt divizibili cu 3
deci rezultatul este tot de forma 3k+2 , deci e parte stabila
x° y=3(x+4/3)(y+4/3)-4/3
intr-adevar
3(xy+4x/3+4y/3+16/9)-4/3= 3xy+4x+4y+16/3-4/3=3xy+4x+4y+12/3=3xy+4x+4y+4=
=x°y
- sa aflam e, elementul neutru
se observa si se poate verifica faptul ca legea e comutativa,
caz in cae vom calcula doar x°e
x ° e=x=3(x+4/3) (e+4/3)-4/3
x+4/3=3(x+4/3)(e+4/3)
simplificam cu x+4/3≠0
3(x+4/3)=1
e+4/3=1/3
e=-1, care este sigur inversabil fiind propriul sau invers, ca de aceea este e
- acum sa determinam x', inversele x-lor inversabil; tot asa, fiind comutativa calculam doar x°x'
x°x'=-1=3(x+4/3)(x'+4/3)-4/3
3(x'+4/3)(x+4/3)=-1+4/3
3(x'+4/3)(x+4/3)=1/3
(x'+4/3)(x+4/3)=1/9
x'+4/3=(1/9):((3x+4)/3)
x'+4/3=1/3(3x+4)
x'=(1/3) (1/(3x+4)-4)
x'=(1/3) ((1-12x-16)/(3x+4))
x'=(-12x-15)/3(3x+4)
x'=-(4x+5)/(3x+4) intreg
(4x+5)/(3x+4) intreg
3x+4 divide pe 4x+5
3x+4 divide pe 12x+15
3x+4 divide pe 12x+16-1
3x+4 divide pe -1
3x+4=-1..x=-5/3 ∉Z
3x+4=1.......3x=-3...x=-1∈Z
- deci x=-1 ∈Z este singurul element inversabil
