👤
KATTY00ZE
a fost răspuns

Fie f: (0,∞) ->R. f(x)=ln([tex]\frac{x+1}{x}[/tex])
Aratati ca f este strict descrescatoare

Răspuns :

1FPSENJOYZE

f'(x)=(ln(x+1)-lnx)'=1/x+1-1/x=x/x(x+1)-(x+1)/x(x+1)=(x-x-1)/x(x+1)=-1/x(x+1)

b)  

f'(x)=-1/x(x+1)<0 oricare ar fi x din (0;infinit) => f descrescatoare pe domeniul de definitie.

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Cerem ajutor de la derivata, deoarece cu ajutorul ei se determina monotonia functiei.

[tex]f'(x)=(ln\frac{x+1}{x} )'=\frac{1}{\frac{x+1}{x} }*(\frac{x+1}{x})'=\frac{x}{x+1} *\frac{(x+1)'*x-(x+1)*x'}{x^{2}}= \frac{x}{x+1}*\frac{1*x-(x+1)*1}{x^{2}} =\frac{x}{x+1}*\frac{x-x-1}{x^{2}}=\frac{x}{x+1}*\frac{-1}{x^{2}}=-\frac{1}{(x+1)*x} <0[/tex]

Deoarece x∈(0;+∞), ⇒x(x+1)>0 si deci f'(x)<0, iar daca derivata este negativa pentru orice x din domeniul de definitie, ⇒ f este strict descrescatoare p domeniul ei de definitie.

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Ne bucurăm să vă revedem și vă invităm să ne adăugați în lista de favorite!


Ze Schools: Alte intrebari